Natural de Samambaia Sul, no Distrito Federal, Weverson Costa teve grande destaque no Brasília Futebol Academia. Aos 13 anos, chamou atenção do São Paulo e foi levado para jogar no clube paulista. O lateral-esquerdo passou por todas as categorias de base em Cotia. Em 2017, foi convocado para disputar o Campeonato Sul-Americano Sub-17 pela seleção brasileira. Foi campeão do torneio e, ainda naquele ano, chegou à terceira colocação do Mundial da mesma categoria. Um ano depois, e tido como grande promessa da posição, Weverson foi convocado por Tite para completar o treino da seleção principal. Em 2020, foi vendido para o Red Bull Bragantino, onde iniciou carreira como profissional. Fez três boas temporadas no time de Bragança, chamando atenção de clubes da Europa. Em 2022, acabou contratado pelo Arouca para disputar o Campeonato Português. No ano de estreia no Velho Continente, participou da campanha da primeira classificação da história do clube para a Conference League. Na temporada seguinte, Weverson conquistou de vez a titularidade e, em 2025, seu último ano de contrato, teve seu melhor desempenho até ali, com direito a gol sobre o Benfica em pleno Estádio da Luz. Até ser contratado pelo Fortaleza em julho do mesmo ano.